Полосовой LC-фильтр
Катушки и конденсаторы полосового фильтра 1–5-го порядка по центральной частоте и полосе или по границам f1–f2: НЧ-прототип Баттерворта, Чебышёва или Бесселя превращается в цепочку последовательных и параллельных контуров.
Результат
- Контуры фильтра: L‖C — параллельный между линией и общим проводом, L–C — последовательный в разрыв линии
Контур L C 1: L‖C 157,9 нГн 3,183 нФ 2: L–C 15,92 мкГн 31,57 пФ 3: L‖C 157,9 нГн 3,183 нФ - Нижний край полосы f1
- 6,6176 МГц
- Верхний край полосы f2
- 7,6176 МГц
- Центральная частота f0 = √(f1·f2)
- 7,1 МГц
- Относительная полоса Δf/f0
- 14,08 %
- Сопротивление нагрузки Rн
- 50 Ом
- Ослабление на проверочной частоте
- 61,64 дБ
- Каждый контур настроен на центральную частоту f0 = √(f1·f2): подстраивайте контуры по резонансу, номиналы ряда E12 здесь не годятся.
- Сопротивления источника и нагрузки оба равны R.
- Потери в катушках не учтены: чем уже полоса, тем выше нужна добротность катушек, иначе вырастет затухание в полосе пропускания.
- f1 и f2 — края полосы по уровню −3 дБ.
Формула
- f0 = √(f1f2), f1 = √(f0² + Δf²/4) − Δf/2, Δω = 2π(f2 − f1), ω0 = 2πf0
- параллельный контур: Ck = gk / (RΔω)
- последовательный: Lk = gkR / Δω
- второй элемент контура — из LkCk = 1/ω0²
- gk и ослабление A(x) — прототипа Баттерворта, Чебышёва или Бесселя, x = (f/f0 − f0/f) · f0/Δf
- Rн = R·gn+1 или R/gn+1
Подробнее о расчёте
Как считается
Полосовой фильтр получается из НЧ-прототипа Баттерворта, Чебышёва или Бесселя заменой частоты ω′/ω′1 = (ω/ω0 − ω0/ω)/w, где w = Δf/f0. Каждая катушка прототипа превращается в последовательный контур L–C, каждый конденсатор — в параллельный контур L‖C, и все контуры настроены на f0.
У последовательного контура L = gR/(2πΔf), у параллельного C = g/(R · 2πΔf); второй элемент — из резонанса LC = 1/(2πf0)². Полосу можно задать центром и шириной или границами f1 и f2. Центр — среднее геометрическое: f0 = √(f1f2), поэтому полоса лежит несимметрично — вверх от f0 она шире. У Баттерворта и Бесселя границы — по уровню −3 дБ, у Чебышёва — края неравномерности.
Пример
Фильтр Баттерворта 3-го порядка на 7,1 МГц, полоса 1 МГц, 50 Ом: края 6,618 и 7,618 МГц. Крайние контуры параллельные: C = 1 / (50 · 2π · 10⁶) = 3,18 нФ, L = 158 нГн. Средний последовательный: L = 2 · 50 / (2π · 10⁶) = 15,9 мкГн, C = 31,6 пФ. На 14,2 МГц ослабление 61,6 дБ.
Что не учтено
- Добротность катушек: чем уже полоса, тем выше потери в полосе пропускания.
- При полосе уже 10 % от f0 номиналы становятся неудобными: у последовательных контуров маленькая ёмкость. Такие фильтры делают на одинаковых связанных контурах.
Источники
- Matthaei G. L., Young L., Jones E. M. T. Design of Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures, т. I. Stanford Research Institute, январь 1963 (DTIC AD 402852; отчёт, переработанный в книгу McGraw-Hill 1964, рус. пер. «Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи», М.: Связь, 1971): рис. 8.02-2(b) — полосовой фильтр из НЧ-прототипа, параметры наклона контуров ω0C = g/w и ω0L = g/w; п. 8.04, формулы (8.04-1)–(8.04-3) — преобразование частоты, w = (ω2 − ω1)/ω0, ω0 = √(ω1ω2); п. 4.05, формулы (4.05-1), (4.05-2) — прототипы Баттерворта и Чебышёва; п. 4.07, табл. 4.07-1 — прототип Бесселя; п. 4.03 — ослабление прототипов. Открыт отчёт 1963 года (скан DTIC в Internet Archive); книга 1964 года и перевод 1971 года не открывались.
- Проверка сайта, 2026: таблица Бесселя пересчитана синтезом по полиному Бесселя θn(s) и сверена с табл. 4.07-1 (часть чисел в скане не читается); анализ лестничной цепи из рассчитанных контуров повторяет формулы ослабления на проверочной частоте.
Обновлено 09.11.2026.